Archive

Posts Tagged ‘Matematika’

Sedikit Tentang Keprimaan Ideal, Ring, Submodul, dan Modul

April 4th, 2010
8 comments

aku2

Beberapa hari yang lalu, dalam kuliah Teori Ring Lanjut, aku mendapatkan tugas untuk membuat sebuah tulisan mengenai ring prima. Tugas ini sifatnya berkelompok, dan nantinya akan dipresentasikan di depan kelas. Kebetulan aku bersama Mba Nana dalam mengerjakan tugas ini. Di sini akan aku tuliskan beberapa hal yang menjadi bahan kajian kami, yaitu beberapa definisi, teorema, dan proposisi terkait dengan ideal prima, ring prima, submodul prima dan modul prima. Silakan menikmati.

Pertama, mungkin ada baiknya diberikan terlebih dahulu definisi ideal prima dalam suatu ring, yaitu sebagai berikut:

IDEAL PRIMA
Definisi 1: Misalkan R ring dan I\subset R adalah ideal di ring R. Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap ideal-ideal A,B\subseteq R berlaku

AB\subseteq I\;\Rightarrow\; A\subseteq I\;\bigvee\; B\subseteq I

Ada juga definisi ideal prima yang ekuivalen dengan definisi tersebut, yaitu sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika (\forall a,b\in R) berlaku:

aRb\subseteq I\;\Rightarrow\; a\in I\;\bigvee\; b\in I

Untuk kasus khusus, yaitu pada suatu ring yang komutatif, Anda bisa langsung menuliskan definisi ideal prima tersebut menjadi sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika (\forall a,b\in R) berlaku:

ab\in I\;\Rightarrow\; a\in I\;\bigvee\; b\in I

Selanjutnya, setelah mengenal dua definisi ideal prima di atas, mari kita mengenal definisi dari ring prima, yaitu sebagai berikut:

RING PRIMA
Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal A,B\subseteq R berlaku

AB\subseteq0\;\Rightarrow\; A=0\;\bigvee\; B=0 Read more…

  • Share/Bookmark

Cerita Harian, Sekitar UGM

Seminar HPA 2010

March 29th, 2010
7 comments

aku2

Lagi-lagi aku melakukan perjalanan cukup jauh. Alhamdulillah, setidaknya aku memiliki waktu untuk refereshing sejenak dan sedikit melupakan tugas kuliah yang menumpuk. Ada yang berbeda dalam perjalanan kali ini, yaitu aku berangkat sebagai bagian dari tim, bukan personal. Entah mengapa perasaan ini masih ada, perasaan yang mengatakan bahwa aku “berjodoh” dengan Jakarta. Yah Jakarta, ibukota negeri ini, yang sudah sangat kumuh itu, walaupun banyak orang mengatakan bahwa kota tersebut sangatlah metropolitan. Hari Jumat kemarin, aku dan dua belas orang lainnya, berangkat dari Stasiun Tugu Jogja pukul 08.05 menuju Stasiun Pasar Senen Jakarta. Ada acara seminar nasional HPA (Himpunan Peminat Aljabar) di UIN Syarif Hidayatullah, Jakarta. Ada aku, Mas Zaki, Ningrum, dan Bu Indah di dalamnya, mungkin nama-nama tersebut yang sering aku tulis di blog ini. Read more…

  • Share/Bookmark

Cerita Harian ,

Prime >< Irreducible?

October 13th, 2009
1 comment

Kaitan antara elemen prima dan elemen tak tereduksi, inilah yang ingin aku bahas di sini. Kali ini aku ingin menuliskan tentang apa yang aku baca beberapa waktu lalu. Judul subbabnya adalah Faktorisasi Tunggal, dan diawali dengan beberapa definisi dan comments. Pada tulisan ini, semua ring adalah daerah integral.

Sebelumnya, apa itu daerah integral? Daerah integral adalah ring komutatif yang tidak memiliki pembagi nol. Dengan kata lain, R disebut daerah integral jika

untuk setiap a,b\in R

berlaku:

ab=0\;\Rightarrow\; a=0\;\vee\; b=0.

Apa itu pembagi nol? Jika a dan b adalah tak nol tetapi berlaku a.b = 0 maka a dan b disebut pembagi nol. Selanjutnya, agak sedikit melebar, jika untuk setiap a\in R terdapat b\in R sehingga berlaku ab=ba=1 maka a disebut unit atau kita katakana a memiliki invers.

Contoh daerah integral:
\left(\mathbb{R},+,\:.\:\right) dan \left(\mathbb{Z},+,\:.\:\right) adalah daerah integral, dimana \mathbb{R} dan \mathbb{Z} masing-masing adalah himpunan bilangan real dan bulat. Read more…

  • Share/Bookmark

Cerita Harian, Sekitar UGM ,

Lemma 2.3.4

September 27th, 2009
4 comments

Entah kenapa aku merasa ingin terus membahas skripsiku kemarin. Semoga selalu seperti ini, maksudku ingin terus membaca-baca kembali apa yang aku geluti selama hampir satu tahun itu. Kali ini aku ingin membahas Lemma 2.3.4 yang ada di skripsiku. Selamat membaca ya.

Sebelumnya, didefinisikan terlebih dahulu himpunan \left(N:M\right) yaitu:

\left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\}

Eit, jangan sampai lupa ya, bahwa aku “bekerja” dengan ring komutatif R dengan elemen satuan loh ya.

Lemma 2.3.4
Jika M adalah R-modul dan N adalah submodul, maka \left(N:M\right) adalah ideal di ring R.

Bukti :
Diketahui M adalah R-modul. Akan dibuktikan \left(N:M\right) adalah ideal. Selanjutnya diambil sebarang a,b\in\left(N:M\right) dan r\in R, maka akan berlaku hal-hal sebagai berikut: Read more…

  • Share/Bookmark

Cerita Harian, Sekitar UGM ,

Ideal dan Beberapa Sifatnya

September 27th, 2009
2 comments

Alhamdulillah, besok pagi, senin tanggal 28 September aku sudah mulai masuk kuliah. Aku cukup bersemangat menantikan tanggal tersebut karena beberapa hari ini ada seseorang yang tidak henti-hentinya memberikan semangat untukku dan tidak lelah mengirim sms yang berisi:

“Ipin, kuliahnya yang semangat ya”

Prolognya ga penting banget deh. Ehmm, baiklah, sebelumnya aku ingin mencoba mereview kembali tentang apa yang sudah aku pelajari beberapa waktu yang lalu, yaitu tentang Ideal. Selamat membaca ya.

Definisi (Ideal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I\subseteq R. Himpunan I disebut ideal di ring R jika dan hanya jika himpunan I memenuhi ketiga aksioma berikut:

1) I\neq\emptyset
2) a-b\in I,\;\forall a,b\in I
3) ar\in I,\;\forall a\in I,\; r\in R Read more…

  • Share/Bookmark

Cerita Harian, Sekitar UGM ,

Matematika itu Mudah dan Indah

August 24th, 2009
8 comments

aku2

Beberapa hari yang lalu aku mendapatkan email dari Om Rudi tentang indahnya matematika. Karena aku dari program studi matematika, maka aku pikir tulisan ini baik untuk Anda baca. Selamat membaca yah. :D  Cerita-cerita ajaib dan membuat kita heran dapat ditemukan juga dari dunia matematika. Berikut ini merupakan kisah-kisah nyata yang diambil dari beberapa sumber. Read more…

  • Share/Bookmark

Artikel Dari Web Lain, Iptek ,