.:: Selamat Datang ::.

Beberapa hari yang lalu, dalam kuliah Teori Ring Lanjut, aku mendapatkan tugas untuk membuat sebuah tulisan mengenai ring prima. Tugas ini sifatnya berkelompok, dan nantinya akan dipresentasikan di depan kelas. Kebetulan aku bersama Mba Nana dalam mengerjakan tugas ini. Di sini akan aku tuliskan beberapa hal yang menjadi bahan kajian kami, yaitu beberapa definisi, teorema, dan proposisi terkait dengan ideal prima, ring prima, submodul prima dan modul prima. Silakan menikmati.

Pertama, mungkin ada baiknya diberikan terlebih dahulu definisi ideal prima dalam suatu ring, yaitu sebagai berikut:

IDEAL PRIMA
Definisi 1: Misalkan R ring dan adalah ideal di ring R. Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap ideal-ideal berlaku

Ada juga definisi ideal prima yang ekuivalen dengan definisi tersebut, yaitu sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika berlaku:

Untuk kasus khusus, yaitu pada suatu ring yang komutatif, Anda bisa langsung menuliskan definisi ideal prima tersebut menjadi sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika berlaku:

Selanjutnya, setelah mengenal dua definisi ideal prima di atas, mari kita mengenal definisi dari ring prima, yaitu sebagai berikut:

RING PRIMA
Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal berlaku

Read more…

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika

Alhamdulillah, aku masih bisa diberi kenikmatan berupa nafas, sehingga aku bisa menghirup udara di bumi-Mu ini ya Allah, ya Rabb. Ingin rasanya bersyukur setiap hari seperti ini, tetapi sepertinya kesibukanku yang sungguh tiada berarti membuatku lupa bahwa aku hanyalah makhluk-Mu yang lemah, yang masih sangat membutuhkan-Mu setiap waktu, yang masih membutuhkan perlindungam-Mu dimanapun aku berada. Sekali lagi, terima kasih ya Allah, Rabb semesta alam. Read more…

Cerita Harian, Kehidupan, Sekitar UGM Sekitar Indonesia

Kaitan antara elemen prima dan elemen tak tereduksi, inilah yang ingin aku bahas di sini. Kali ini aku ingin menuliskan tentang apa yang aku baca beberapa waktu lalu. Judul subbabnya adalah Faktorisasi Tunggal, dan diawali dengan beberapa definisi dan comments. Pada tulisan ini, semua ring adalah daerah integral.

Sebelumnya, apa itu daerah integral? Daerah integral adalah ring komutatif yang tidak memiliki pembagi nol. Dengan kata lain, R disebut daerah integral jika

untuk setiap

berlaku:

.

Apa itu pembagi nol? Jika a dan b adalah tak nol tetapi berlaku a.b = 0 maka a dan b disebut pembagi nol. Selanjutnya, agak sedikit melebar, jika untuk setiap terdapat sehingga berlaku maka a disebut unit atau kita katakana a memiliki invers.

Contoh daerah integral:
dan adalah daerah integral, dimana dan masing-masing adalah himpunan bilangan real dan bulat. Read more…

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika, Sekitar Indonesia

Entah kenapa aku merasa ingin terus membahas skripsiku kemarin. Semoga selalu seperti ini, maksudku ingin terus membaca-baca kembali apa yang aku geluti selama hampir satu tahun itu. Kali ini aku ingin membahas Lemma 2.3.4 yang ada di skripsiku. Selamat membaca ya.

Sebelumnya, didefinisikan terlebih dahulu himpunan yaitu:

Eit, jangan sampai lupa ya, bahwa aku “bekerja” dengan ring komutatif R dengan elemen satuan loh ya.

Lemma 2.3.4
Jika M adalah R-modul dan N adalah submodul, maka adalah ideal di ring R.

Bukti :
Diketahui M adalah R-modul. Akan dibuktikan adalah ideal. Selanjutnya diambil sebarang dan , maka akan berlaku hal-hal sebagai berikut: Read more…

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika, Sekitar Indonesia

Alhamdulillah, besok pagi, senin tanggal 28 September aku sudah mulai masuk kuliah. Aku cukup bersemangat menantikan tanggal tersebut karena beberapa hari ini ada seseorang yang tidak henti-hentinya memberikan semangat untukku dan tidak lelah mengirim sms yang berisi:

“Ipin, kuliahnya yang semangat ya”

Prolognya ga penting banget deh. Ehmm, baiklah, sebelumnya aku ingin mencoba mereview kembali tentang apa yang sudah aku pelajari beberapa waktu yang lalu, yaitu tentang Ideal. Selamat membaca ya.

Definisi (Ideal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan . Himpunan I disebut ideal di ring R jika dan hanya jika himpunan I memenuhi ketiga aksioma berikut:

1)
2)
3) Read more…

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika, Sekitar Indonesia

Mulai hari Selasa kemarin, aku cukup disibukkan dengan adanya workshop dan seminar di kampusku fakultas MIPA UGM. Acara ini bertempat di ruang sidang program studi Matematika yang ada di lantai 3 gedung jurusan Matematika – MIPA. Aku pikir, daripada hanya menghabiskan waktu di depan komputer, browsing sana-sini dan chatting tidak karuan, ada baiknya kalau aku mengikuti acara ini. Alasan terbesarnya adalah karena acara ini bersifat GRATIS alias tidak dipungut biaya sama sekali. Acara dimulai pukul 08.00 sampai ba’da Dhuhur setiap harinya. Aku cukup kesulitan mengerti isi seminar yang dibawakan. Mungkin ini diakibatkan oleh lidah orang Singapura yang tidak terlalu cocok untuk berbicara dalam Bahasa Inggris, atau malah aku sendiri yang harus belajar banyak dalam berbahasa Inggris. Read more…

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika