.:: Selamat Datang ::.

Selamat sore semua, selamat sore Indonesiaku. Entah kenapa beberapa hari ini aku suka sekali menyapa negeriku. Hari ini lagi-lagi aku ingin menuliskan [lagi] sekelumit tentang skripsiku. Kali ini aku ingin menuliskan tentang Lemma Zorn. Saat aku selesai ujian pendadaran tentang skripsiku dulu, ada satu sub bahasan yang menjadi PR besar bagiku, yaitu tentang Lemma Zorn ini. Masalahnya terletak pada bukti yang aku sertakan. Kata Pak Atok Zulijanto, buktinya tidak sesederhana yang aku tulis karena seharusnya jauh lebih panjang dan melibatkan Axiom Of Choises. Padahal sebelumnya aku dan Nanang Susyanto merasa bahwa apa yang aku sertakan itu sudah cukup memberikan gambaran tentang Lemma Zorn ini.

Namun, karena aku merasa bahwa aku belum menemukan kesalahan pada apa yang aku tulis tersebut, maka aku tetap “ngotot” dan memohon kepada ketua sidang, yaitu Pak Budi, agar ulasan yang aku berikan tentang lemma tersebut dapat aku masukkan ke dalam skripsiku itu. Aku hanya berharap bahwa ke depannya orang yang membaca skripsiku dapat sedikit mengerti dan memiliki gambaran abstrak tentang Lemma Zorn. Akhirnya, kata sepakat pun didapat, kata “BUKTI” di bawah Lemma Zorn itu diganti dengan kalimat “ILUSTRASI TENTANG LEMMA ZORN”. Yah, tidak apa-apa menurutku.

Baiklah, sebelum aku menuliskan pembahasan tentang Lemma Zorn ini, aku ingatkan kembali bahwa ada baiknya Anda membaca kembali skripsi lengkapku agar tidak salah paham atas apa yang aku tulis ini. Sebelumnya, aku sertakan juga beberapa definisi yang dapat menjadi “landasan” agar misteri Lemma Zorn ini dapat terkuak dengan jelas. OK, here we go, guys!!

Definisi 2.1.20 (Terurut Parsial)
Himpunan tak kosong S disebut terurut parsial dengan relasi jika memenuhi aksioma di bawah ini :
1. (hukum refleksif).
2. (hukum antisimetris).
3. (hukum transitif).

Selanjutnya untuk sebarang di atas, jika maka a dan b dikatakan sebanding (comparable).

Definisi 2.1.21 (Terurut Linear)
Himpunan tak kosong S disebut terurut linear (rantai) dengan relasi jika untuk sebarang berlaku .

Definisi 2.1.22 (Batas Atas dan Elemen Maksimal)
Elemen disebut batas atas pada himpunan bagian jika untuk setiap berlaku . Elemen disebut elemen maksimal jika untuk setiap berlaku .

Dari Definisi 2.1.22 tersebut, dapat ditentukan pula ingkaran dari pernyataan dari definisi elemen maksimal di atas. Jadi, elemen bukan elemen maksimal jika terdapat sehingga berlaku dan . Definisi ini berguna untuk memberikan penjelasan tentang ilutrasi Lemma 2.1.23 di bawah ini, yaitu pembahasan mengenai Lemma Zorn.

Lemma 2.1.23 (Lemma Zorn)
Jika himpunan S terurut parsial sehingga setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di dalam himpunan S, maka himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal.

Ilustrasi dari Lemma Zorn tersebut adalah sebagai berikut :
Misalkan S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas. Kemudian, diandaikan himpunan S tidak memiliki elemen maksimal. Selanjutnya diambil sebarang rantai T di himpunan S yang memiliki batas atas awal M di rantai T, yang artinya untuk setiap . Dari hipotesis, M bukanlah elemen maksimal di S, yang artinya akan terdapat sehingga berlaku dan . Jelas bahwa , karena dan M merupakan batas atas himpunan T. Di pihak lain, juga akan terdapat sehingga berlaku dan dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai T tidak memiliki batas atas.

Kemudian, dapat diperoleh pula bahwa juga rantai dengan batas atas awal (karena ). Berdasarkan hipotesis lagi, juga bukan elemen maksimal di S, sehingga akan terdapat yang berakibat dan dan seterusnya, yang berarti pula bahwa rantai juga tidak memiliki batas atas.

Begitu seterusnya, akan selalu terbentuk rantai baru yang lebih panjang dan tidak memiliki batas atas di rantai tersebut. Dari sini telah timbul kontradiksi, karena menurut hipotesis, setiap rantai di dalam himpunan S memiliki batas atas. Jadi, pengandaian salah, dan haruslah himpunan S memiliki minimal satu elemen maksimal. Dengan demikian, terbukti bahwa jika S adalah himpunan terurut parsial dan setiap rantai di dalamnya memiliki batas atas di S, maka S memiliki minimal satu elemen maksimal.

Contoh 2.1.24
1. Sebuah himpunan terurut parsial bisa memiliki banyak elemen maksimal. Misalkan adalah koleksi semua himpunan bagian sejati di himpunan , yang terurut parsial dengan relasi . Himpunan tidak memiliki batas atas, tetapi memiliki elemen maksimal, yaitu himpunan untuk suatu . Dalam hal ini A memiliki lebih dari satu elemen maksimal.
2. Sebuah himpunan terurut parsial bisa tidak memiliki elemen maksimal. Misalnya himpunan semua bilangan real , merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi , tetapi tidak memiliki elemen maksimal, karena akan selalu terbentuk rantai baru di yang lebih panjang dari rantai sebelumnya dan tidak memiliki batas atas.

Semoga pemaparan tentang Lemma Zorn ini dapat bermanfaat, khususnya bagi Anda pemerhati dan pecinta matematika bidang aljabar abstrak. Mari kita tetap berbagi ilmu pengetahuan. Apa saja. Nuwun.

NB : download skripsi lengkapku di sini.

Cerita Harian, Sekitar UGM Matematika, Tugas Akhir