Home > Cerita Harian > Kaitan Antara Modul Sederhana, Lapangan dan Submodul Prima

Kaitan Antara Modul Sederhana, Lapangan dan Submodul Prima

March 30th, 2009
Goto comments Leave a comment

aku2

Bagi Anda pecinta Matematika khususnya bidang Alkabar, pasti sudah tidak asing lagi dengan istilah modul sederhana, lapangan, dan submodul prima. Terus terang saja, ketiga hal tadi menjadi salah satu pembahasanku, dan aku ingin menuliskannya di sini karena aku anggap cukup menarik. Jadi, aku harap Anda menikmatinya. Sebelumnya aku ingin menuliskan definisi ketiga hal tersebut kemudian dilanjutkan dengan kaitannya satu sama lain.

Definisi 1 (Modul Sederhana)
Diberikan M adalah R-modul setia. R-modul M disebut modul sederhana jika \left(M\neq\left\{ 0\right\} \right), dan submodulnya hanya {0} atau M sendiri.

Definisi 2 (Lapangan)
Diketahui F adalah ring komutatif. Jika setiap elemen tak nol di F merupakan unit maka F disebut lapangan (field). Dengan kata lain, jika ditulis secara lengkap, operasi-operasi yang terdapat dalam suatu lapangan F dengan dua operasi biner (yaitu penjumlahan “+” dan perkalian “.”) adalah sebagai berikut:

  1. a+(b+c)=(a+b)+c\;\&\; a.(b.c)=(a.b).c,\;\forall a,b,c\in F (sifat asosiatif)
  2. a+b=b+a\;\&\; a.b=b.a,\;\forall a,b\in F (sifat komutatif)
  3. a.(b+c)=a.b+a.c\;\&\;(a+b).c=a.c+b.c,\;\forall a,b,c\in F (sifat distributif)
  4. Terdapat elemen 0,1\in F sehingga berlaku a+0=0+a=a.1=1.a,\;\forall a\in F (elemen identitas)
  5. Untuk setiap a\in F terdapat b\in F sehingga a+b=b+a=0 (invers terhadap penjumlahan)
  6. Untuk setiap 0\neq a\in F terdapat b\in F sehingga a.b=b.a=1 (invers terhadap perkalian)

Definisi 3 (Submodul Prima)
Diberikan M adalah R-modul dan N submodul di M. N disebut submodul prima jika N merupakan submodul sejati M dan untuk setiap r\in R,\; m\in M
berlaku rm\in N\;\Rightarrow\; m\in N\;\vee\; r\in\left(N:M\right)
dengan \left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\} .

Sebelum melangkah menuju kaitan antara modul sederhana, lapangan dan submodul prima, ada baiknya Anda mengetahui Lemma berikut. Perhatikan pula bukti yang diberikan ya.

Lemma 4
Pada R-modul setia (faithful) M, jika M adalah R–modul sederhana dan R adalah lapangan, maka R-modul M adalah R-modul perkalian.
Bukti :
Diketahui R-modul M merupakan modul sederhana, yang artinya submodul-submodul yang ada di M hanyalah {0} atau modul M sendiri.

  1. Untuk submodul {0}, akan terdapat ideal {0} di ring R sehingga berlaku \left\{ 0\right\} =\left\{ 0\right\} M.
  2. Untuk submodul M, akan terdapat ideal R sendiri di ring R sehingga berlaku M=RM. Perhatikan bahwa \forall m\in M berlaku m=1_{R}.m\in RM yang berarti M\subseteq RM dan jelas bahwa RM\subseteq M (karena M adalah R-modul). Karena M\subseteq RM dan RM\subseteq M maka M=RM.

Dengan demikian, terbukti bahwa jika R-modul M adalah modul sederhana atas lapangan R, maka M adalah R-modul perkalian.

Nah, dengan berbekal lemma tersebut, sepertinya akan lebih mudah bagi Anda untuk mengerti kaitan antara modul sederhana, lapangan, dan submodul prima. Kaitan yang aku maksud tadi adalah berbentuk hubungan ekuivalensi, yaitu “kejadian” yang satu berlaku jika dan hanya jika “kejadian” yang lain berlaku. Aku yakin Anda akan mengerti yang aku maksud setelah aku tuliskan bentuk ekuivalensi tersebut. Oh iya, jangan lupa perhatikan pula buktinya yah!

Akan diberikan terlebih dahulu kaitan antara modul sederhana dan lapangan.

Teorema 5
Misalkan M adalah R-modul perkalian, maka M adalah R-modul sederhana jika dan hanya jika R adalah lapangan.

Bukti :
\Leftarrow: Diketahui R adalah lapangan. Selanjutnya diambil sebarang submodul N di M dengan N=IM untuk suatu ideal I di ring R. Karena R merupakan lapangan, maka ideal-idealnya hanya {0} atau R sendiri.

  1. Untuk ideal I={0}, maka berlaku N=IM={0}M={0}.
  2. Untuk ideal I=R, maka berlaku N=RM=M, karena M\subseteq RM dan RM\subseteq M (lihat Lemma 4 di atas).

Dari penjelasan tersebut, maka terbukti bahwa submodul-submodul di R-modul M hanya submodul {0} atau R-modul M sendiri. Dengan kata lain modul R-modul M adalah modul sederhana. Dengan demikian, terbukti bahwa pada R-modul M, jika R adalah lapangan maka M adalah R-modul sederhana.
\Rightarrow: Diketahui adalah R-modul sederhana, yang artinya submodul-submodulnya hanya {0} atau M sendiri, sehingga berlaku {0}=IM atau M=IM. Diandaikan ring R bukan lapangan, maka akan terdapat 0\neq a\in R yang tidak memiliki invers sehingga berlaku \left\{ 0\right\} =\left(Ia\right)M dan M=\left(Ia\right)M. Selanjutnya diambil sebarang 0\neq r\in I dan 0\neq m\in M, maka akan berlaku :

  1. Untuk submodul {0} berlaku \left\{ 0\right\} =\left(ra\right)m=r\left(am\right) untuk suatu 0\neq r\in I, 0\neq a\in R dan 0\neq m\in M, yang artinya r=0 atau am=0. Dari am=0 ini diperoleh a=0 atau m=0. Dengan demikian telah terjadi kontradiksi karena r\neq0,\; a\neq0,\; m\neq0.
  2. Untuk submodul M, maka untuk suatu 0\neq r\in I,\;0\neq a\in R,\;0\neq m\in M berlaku:

m=\left(ra\right)m\Leftrightarrow m=\left(ar\right)m\Leftrightarrow0=\left(ar\right)m-m\Leftrightarrow0=\left(ar-1\right)m

Dari sini diperoleh ar=1 atau m=0, dimana juga terjadi kontradiksi, karena 0\neq a\in R tidak memiliki invers, 0\neq r\in I dan 0\neq m\in M.
Jadi, dari penjelasan di atas, diperoleh pengandaian yang salah sehingga haruslah R merupakan lapangan. Dengan demikian, terbukti bahwa jika M adalah R-modul sederhana maka R adalah lapangan.
Setelah mengetahui kaitan antara modul sederhana dan lapangan pada modul perkalian, akan lebih menyenangkan jika Anda mengetahui kaitan antara lapangan dan submodul prima. Lagi-lagi jangan lupa perhatikan buktinya yah!

Teorema 6
Misalkan M adalah R-modul tak nol dan adalah R-modul setia, maka setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima jika dan hanya jika ring adalah lapangan.

Bukti :
\Leftarrow: Diketahui ring R adalah lapangan. Selanjutnya diambil sebarang submodul sejati N di R-modul M. Akan dibuktikan bahwa N adalah submodul prima. Jika diambil sembarang r\in R,\; m\in M dengan rm\in N akan diperoleh hal-hal sebagai berikut :

  1. Jika r=0, maka rM=\left\{ 0\right\} \subseteq N
  2. Jika r\neq0, maka karena ring R merupakan lapangan, r akan memiliki invers, yaitu r^{-1}, sehingga berlaku r.r^{-1}=r^{-1}.r=1, dan untuk sebarang rm\in N berlaku :

r^{-1}\left(rm\right)=\left(r^{-1}.r\right)m=1.m=m\in N

Dari penjelasan tersebut, terbukti bahwa jika rm\in N maka akan berlaku rM\subseteq N atau m\in N, yang artinya r\in\left(N:M\right) atau m\in N. Dari sini diperoleh N adalah submodul prima. Dengan demikian, terbukti bahwa jika R adalah lapangan maka N adalah submodul prima di R-modul M.
\Rightarrow: Diketahui setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima dan adalah R-modul setia. Diandaikan R bukan lapangan. Perhatikan bahwa submodul {0} adalah submodul prima di R-modul M , karena untuk sebarang r\in R,\; m\in M dan rm=0 akan berlaku :

  1. Jika r=0 maka rM={0}
  2. Jika r\neq0 dan karena modul M adalah modul setia maka berlaku m=0.

Selanjutnya karena {0} adalah submodul prima di R-modul M dan adalah R-modul setia, maka untuk sebarang r_{1},r_{2}\in R\;\&\;0\neq m\in M dengan r_{1}.r_{2}=0 berlaku :

\left(r_{1}.r_{2}\right).m=0\Leftrightarrow r_{1}.\left(r_{2}.m\right)=0\Leftrightarrow r_{2}.m=0\;\bigvee\; r_{1}.M=0

Dari sini diperoleh jika r_{2}.m=0 dengan m\neq0 maka haruslah r_{2}=0 dan jika r_{1}.M=0 untuk suatu 0\neq m_{0}\in M maka haruslah r_{1}=0. Dari penjelasan tersebut, maka diperoleh untuk setiap r_{1},r_{2}\in R-\left\{ 0\right\} berlaku jika r_{1}.r_{2}=0 maka r_{1}=0 atau r_{2}=0. Dengan kata lain, ring R adalah daerah integral.
Selanjutnya, karena untuk sebarang 0\neq r\in R,\; m\in M dengan rm=0 berlaku m=0, maka dengan kata lain, Tor(M)=\left\{ 0\right\} , sehingga dapat disimpulkan bahwa M adalah modul bebas torsi.
Dari Teorema 5 di atas diperoleh karena ring R bukanlah lapangan, maka M bukanlah R-modul sederhana, yang artinya submodul sejati tak nolnya akan ada lebih dari satu. Selanjutnya diambil sebarang submodul sejati Rm tak nol di R-modul M dan diambil 0\neq a\in R yang tidak memiliki invers. Akibatnya, sesuai hipotesis Ram\neq0 adalah submodul sejati dan submodul prima. Karena Ram\neq0 submodul prima, maka untuk sebarang 0\neq r\in R,\;0\neq m\in M dan 0\neq a\in R yang tidak memiliki invers, maka jika am\in Ram berlaku m\in Ram atau aM\in Ram.
(i) Dari m\in Ram diperoleh untuk sebarang r_{0}\in R berlaku

m=r_{0}am\Leftrightarrow0=r_{0}am-m\Leftrightarrow0=\left(r_{0}a-1\right)m

yang berakibat r_{0}a=1\Leftrightarrow a=r_{0}^{-1}\;\bigvee\; m=0 dimana kedua hal tersebut tidak mungkin terjadi karena 0\neq a\in R tadi tidak memiliki invers dan m\neq0, sehingga telah terjadi kontradiksi.
(ii) Dari aM\subseteq R\left(am\right)=aRm\subseteq aM diperoleh aM\subseteq aRm dan aRm\subseteq aM, yang artinya aM=aRm, sehingga untuk sebarang r_{0}\in R,\; m_{0}\in M berlaku

am_{0}=ar_{0}m\Leftrightarrow0=ar_{0}m-am_{0}\Leftrightarrow0=a\left(r_{0}m-m_{0}\right)

yang berakibat a=0\;\bigvee\; r_{0}m=m_{0} yang artinya Rm\supseteq M. Karena Rm\supseteq M dan Rm\subseteq M (karena Rm submodul di R-modul M), maka Rm=M yang artinya M adalah R-modul sederhana, sehingga juga telah terjadi kontradiksi.
Dari penjelasan di atas, ternyata diperoleh pengandaian yang salah, sehingga ring R haruslah lapangan. Dengan demikian, terbukti bahwa jika setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima maka ring R adalah lapangan.

Dari Teorema 5 dan Teorema 6 maka dapat diambil sebuah akibat, yaitu sebagai berikut. Sebenarnya Akibat 7 ini juga ada buktinya, tetapi karena aku kelelahan menulis dengan Latex, maka buktinya tidak aku sertakan. Mungkin suatu saat akan edit tulisan ini. Atau kalau dirasa cukup, Anda dapat membuktikannya sendiri. Aku yakin Anda mampu melakukannya.

Akibat 7
Misalkan M adalah R-modul perkalian setia, maka M adalah R-modul sederhana jika dan hanya jika submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima.

Dengan memperhatikan kembali Teorema 5, Teorema 6 dan Akibat 7 maka dapat diambil sebuah kesimpulan sederhana, yaitu hubungan ekuivalensi antara modul sederhana, lapangan dan submodul prima.

Proposisi 8
Jika M adalah R-modul perkalian maka ketiga pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen :

  1. M adalah R-modul sederhana.
  2. Ring R adalah lapangan.
  3. Setiap submodul sejati di R-modul M adalah submodul prima.

Ketiga pernyataan pada Proposisi 8 di atas tidak ekuivalen jika M bukan R-modul perkalian. Untuk suatu R-modul setia M (bukan modul perkalian), dua hal yang pasti ekuvalen adalah nomor 2 dan nomor 3 di atas, yaitu jika M adalah R-modul setia tak nol maka R adalah lapangan jika dan hanya jika setiap submodul sejati di M adalah submodul prima.

aku2

Haduh, lelahnya. Sudah dulu yah. Semoga tulisan ini bermanfaat, khususnya bagi Anda pecinta Matematika bidan Aljabar. Sebenarnya semua ini ada dalam tugas akhirku tetapi aku merasa bahwa Anda enggan membacanya. Oleh karena itu aku sajikan satu persatu di sini. Kalau Anda tertarik untuk mempelajari lebih jauh, Anda dapat mencari referensi dengan mendownload di sini.

Baiklah, mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan dan tulisan ilmiah. Apa saja. Nuwun.

Footer: dokumentasikanlah hidup Anda selalu.
  • Share/Bookmark

Cerita Harian ,

  1. fairuzdarin
    March 30th, 2009 at 07:05 | #1
    Reply | Quote

    Apa ini, Pin??
    Semoga tetap semangat ya dalam berbagi ilmu.
    *mundur teratur*

    ” admin :
    ini adalah sedikit ilmu di dunia matematika, ren.
    amiin. semoga bermanfaat.
    *maju teratur* :P

  2. Ta’08
    March 30th, 2009 at 21:03 | #2
    Reply | Quote

    kok komen sy ga msk ya?
    pdhl td sy blg,bgs nih bagi2 ilmu.skl kl bhs analisis atau applied mathematic dong…!
    aljabar sih sy sk tp bkn yg struktur,jd agak ssh nyambungnya bc tulisan itu. he he he.

    ” admin :
    wah benarkah?
    iya ga masuk kayaknya, ga baca basmalah sih. :P
    duh, itu kan bidangku, jadi agak sulit.
    waduh, orang matematika masa ga bisa baca itu? jangan bercanda ah! :d

  1. No trackbacks yet.