.:: Selamat Datang ::.

Lagi-lagi aku ingin membahas apa yang aku tulis dalam skripsiku kali ini. Aku pikir aku bisa sekalian belajar untuk persiapan ujian pendadaranku sebentar lagi, yang insya Allah akan diadakan di akhir bulan ini. Semoga Anda tidak muak membacanya. Aku hanya ingin Anda sedikit mengenal dan tertarik pada dunia matematika terutama bidang aljabar yang aku geluti saat ini. Sebelumnya, dalam tulisanku berjudul “Sedikit Tentang Modul Perkalian (Multiplication Modules)”, aku telah mengenalkan pada Anda tentang definisi Ring dan Ideal. Untuk pengertian dan sifat-sifat Ring tidak akan ulas kembali di sini karena dapat Anda baca kembali pada judul dengan tanda kutip di atas.

Saat ini aku ingin mengulas sedikit tentang submodul prima. Akan aku awali dengan definisi dari pokok bahasan tersebut, kemudian aku lanjutkan dengan contoh dan sifat-sifat yang terkait. Aku yakin Anda akan menikmati tulisan ini karena akan ada banyak hal-hal menarik yang dapat Anda temui di sini. Ok guys, let’s do this. Here we go !!

Ada baiknya aku tulis kembali definisi ideal untuk mengawali pembahasan kita kali ini, karena aku yakin Anda akan mengalami sedikit kesulitan jika langsung diberikan definisi Ideal Prima. Oh iya, sebelumnya aku ingin memberikan sedikit peringatan bahwa kata “ideal” di sini (atau dalam bidang aljabar khusunya) berbeda definisinya dengan kata “ideal” pada kalimat berikut : “Mereka pasangan yang ideal” atau “Semoga Indonesia menjadi negara yang ideal dan makmur”. Eh maaf, seharusnya di kalimat kedua adalah : “Semoga Indonesia menjadi negara yang adil dan makmur”. (Huu…jayus !!). Haduh, aku ingin bercanda tetapi kok tidak bisa ya?

Definisi (Ideal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I adalah subring dari R. Himpunan I disebut ideal di R jika dan hanya jika himpunan I memenuhi ketiga aksioma berikut:

1. Himpunan I bukan himpunan kosong.
2. a – b elemen I, untuk setiap a, b elemen I.
3. a.r elemen I, untuk setiap a elemen I dan r elemen R.

Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan ideal I dan disebut ideal sejati jika I tidak sama dengan R.

Sebelum Anda mengenal ideal prima, ada baiknya juga Anda tahu pengertian Daerah Integral (Integral Domain) dalam sebuah ring. Hal ini akan sangat membantu pemahaman mengenai ideal prima nantinya.

Definisi (Pembagi Nol dan Daerah Integral)
Diketahui R adalah ring. Elemen tak nol a di R disebut pembagi nol (zero divisor) pada R jika terdapat elemen tak nol b di R sehingga a.b = 0. Jika R tidak memuat pembagi nol, maka ring R disebut daerah integral (integral domain).

Dengan kata lain, ring R dikatakan daerah integral jika untuk setiap a, b elemen R maka berlaku jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0. Dari sini, dengan menggunakan kontraposisi pernyataan tersebut maka dapat pula dikatakan bahwa ring R dikatakan daerah integral jika untuk setiap a, b elemen R maka berlaku jika a tidak sama dengan 0 dan b tidak sama dengan 0 maka hasil kali a.b tidak sama dengan 0.

Contoh :
(Z, +, . ) adalah daerah integral karena untuk setiap a, b elemen Z berlaku jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.

Definisi (Ideal Prima)
Jika R adalah ring maka I dikatakan ideal prima jika I adalah ideal sejati (I tidak sama dengan R) dan untuk setiap a, b elemen R maka berlaku jika a.b elemen I maka a elemen I atau b elemen I.

Contoh :

1. Jika ring R adalah daerah integral, maka {0} di R adalah ideal prima, karena untuk setiap a, b elemen R maka berlaku jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.
2. Pada himpunan semua bilangan bulat Z, ideal pZ dengan p adalah bilangan prima tertentu adalah ideal prima, karena untuk setiap a, b elemen Z berlaku jika a.b elemen pZ maka a elemen pZ atau b elemen pZ.

Ideal I di ring R dikatakan ideal prima jika I adalah ideal sejati (I tidak sama dengan R) dan untuk setiap a, b elemen R maka berlaku jika a.b elemen I maka a elemen I atau b elemen I. Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maka perkalian a.b elemen I dapat dipandang sebagai bentuk perkalian a elemen R (R sebagai ring) dan b elemen R (R sebagai modul), sehingga jika I ideal prima maka berlaku a elemen I atau b elemen Ann(R/I), dengan (R/I) = {r + I | untuk setiap r elemen R }. Hal ini memotivasi adanya definisi submodul prima pada R-modul M. Selanjutnya, N dikatakan submodul prima di R-modul M jika N merupakan submodul sejati (N tidak sama dengan M) dan untuk setiap r elemen R, m elemen M, berlaku jika rm elemen N maka m elemen N atau r elemen Ann(M/N), dengan (M/N) = {m + N | untuk setiap m elemen M}.

Selanjutnya, untuk setiap submodul N di R-modul M didefinisikan himpunan (N : M) = {r elemen R | rM subset N}. Perhatikan bahwa untuk sebarang submodul prima N berlaku :

Ann(M/N)
= {r elemen R | r.(M/N) = 0 }
= {r elemen R | r.n = 0, untuk setiap n elemen M/N }
= {r elemen R | r.n + N = 0 + N, untuk setiap n elemen M }
= {r elemen R | r.n + N = N, untuk setiap n elemen M }
= {r elemen R | r.n elemen N, untuk setiap n elemen M }
= {r elemen R | r.M subset N }
= (N : M)

Dari kesamaan Ann(M/N) = (N : M) di atas, maka akan diperoleh definisi submodul prima yang baru, yaitu sebagai berikut :

Definisi (Submodul Prima)
Jika M adalah R-modul maka N dikatakan submodul prima di R-modul M jika N adalah submodul sejati (N tidak sama dengan M) dan untuk setiap r elemen R, m elemen M, berlaku jika rm elemen N maka m elemen N atau r elemen (N : M).

Definisi mengenai submodul prima tersebut dapat juga dinyatakan dengan kalimat sebagai berikut :
Untuk sebarang R-modul M dan N adalah submodul di M, N dikatakan submodul prima jika N adalah submodul sejati (N tidak sama dengan M) dan untuk setiap r elemen R, m elemen M\N, berlaku jika rm elemen N maka r elemen (N : M).

Dari definisi submodul prima tersebut dapat diketahui ingkarannya, yaitu N bukan submodul prima pada R-modul M, jika N bukan submodul sejati (N = M) atau terdapat r elemen R, m elemen M\N, berlaku rm elemen N tetapi r bukan elemen (N : M). Setelah Anda mengenal pengertian submodul prima maka Anda juga harus mengenal pengertian submodul prima lemah karena kaitan antara keduanya cukup penting.

Definisi (Submodul Prima Lemah)
Submodul sejati N di R-modul M dikatakan submodul prima lemah jika N adalah submodul sejati (N tidak sama dengan M) dan untuk setiap r elemen R, m elemen M, berlaku jika r.m elemen N tak nol maka m elemen N atau r elemen (N : M).

Jika M adalah R-modul maka untuk N = {0} diperoleh ({0} : M) = {r elemen R | r.M = 0}. Perhatikan bahwa submodul {0} di R-modul M selalu submodul prima lemah, karena untuk setiap r elemen R, m elemen M\{0}, jika r.m tidak sama dengan nol maka r elemen ({0} : M). Akan tetapi {0} belum tentu submodul prima pada R-modul M karena terdapat r elemen R, m elemen M\{0}, dengan r.m = 0 tetapi r bukan elemen ({0} : M).
Jika N submodul prima maka N submodul prima lemah, karena :

1. Jika N = {0} maka jelas bahwa N submodul prima lemah
2. Jika N tidak sama dengan {0} maka untuk suatu r elemen R, m elemen M\{0} jika r.m tidak sama dengan nol di N berlaku r elemen (N : M).

Dengan demikian, jelas bahwa setiap submodul prima merupakan submodul prima lemah, tetapi setiap submodul prima lemah belum tentu submodul prima.

Contoh :

1. Untuk himpunan semua bilangan rasional Q dan himpunan semua bilangan bulat Z, maka Z bukanlah submodul prima di Z-modul Q, karena terdapat ¼ elemen Q\Z dan 4 elemen Z dengan 4.1/4 = 1 elemen Z tetapi tidak selalu berlaku 4.Q subset Z (jika diambil 1/3 elemen Q maka 4.1/3 = 4/3 bukan elemen Z).
2. Submodul pZ di Z-modul Z dengan p adalah bilangan prima tertentu merupakan submodul prima, karena untuk sebarang m elemen Z\pZ dan r elemen Z, jika r.m elemen pZ\Z maka rZ subset pZ.
3. 6.Z di Z-modul Z bukanlah submodul prima, karena terdapat 10 elemen Z\6Z dan 3 elemen Z yang berlaku 3.10 = 30 elemen 6Z tetapi 3.Z bukan subset 6.Z (karena 3 elemen 3.Z tetapi 3 bukan elemen 6.Z).

Demikian ulasan mengenai submodul prima, yang termotivasi oleh pengertian ideal prima dalam suatu ring. Wah, cukup panjang juga ya.Bagi Anda pecinta bidang Aljabar dalam dunia Matematika, lagi-lagi kurang lengkap hidup Anda rasanya sebelum Anda mengenal Submodul Prima ini. Akan ada banyak sifat-sifat menarik yang dapat Anda gali di sini. Dalam skripsiku, aku mencari tahu kaitan antara submodul prima dalam suatu modul perkalian.

Cukup untuk hari ini ya. Aku harus baca-baca lagi skripsiku untuk persiapan ujian pendadaran tanggal 31 Desember 2008 besok. Sekali lagi, mohon doanya ya. Mari kita tetap berbagi ilmu pengetahuan dan pengalaman. Apa saja. Nuwun.

Cerita Harian, Iptek, Sekitar UGM Matematika, Tugas Akhir