.:: Selamat Datang ::.

Aku ingin menuliskan sedikit tentang tugas akhirku kali ini. Sebenarnya dosen pembimbingku, Bu Indah melarangku sebelumnya karena aku belum dinyatakan lulus ujian pendadaran skripsiku ini, karena ditakutkan ada pihak-pihak yang tidak bertanggungjawab yang mengklaim hasil pekerjaanku selama hampir satu tahun ini dan dijadikan karya atas namanya sendiri. Bisa mati kutu aku nanti karena syarat utama sebuah skripsi di program studiku adalah pokok bahasan yang belum pernah dikuliahkan. Seringkali pula literatur yang ada pun sedikit sekali dan hanya sebatas paper dari para matematikawan yang membahas atau mengembangkan pokok bahasan tersebut. Contoh konkretnya adalah pokok bahasan yang aku garap ini, yaitu Modul Perkalian (Multiplication Modules).

Dari buku-buku aljabar yang aku miliki TIDAK ADA satupun yang membahas materi ini. Yah sudahlah, itu semua bukan masalah lagi saat ini karena sebentar lagi aku akan menyerahkan draft Tugas Akhirku dan artinya dalam waktu dekat ini aku akan “didadar” atau diuji untuk mempertahankan semua yang aku tulis dalam 90an halaman skripsi yang aku tulis. Bagi Anda yang membaca ini, mohon doanya ya, semoga aku lulus ujian skripsi nanti dan dengan hasil yang memuaskan tentunya. Dan yang tidak kalah penting adalah semoga semua yang aku tulis tersebut dapat bermanfaat nantinya bagi matematikawan lain yang ingin membahas atau mengembangkan pokok bahasan seputar Modul Perkalian (Multiplication Modules) ini. Menurutku tidak terlalu berlebihan jika aku membagi sedikit tentang modul perkalian ini karena semua materi (dasar teori) yang aku tuliskan ini sebagian besar ada dalam buku-buku aljabar dan aku yakin Anda yang membaca ini tidak akan “menyulitkan” aku.

Definisi :

Misalnya diberikan R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul uniter, maka M dikatakan modul perkalian (multiplication modules) jika untuk setiap submodul N di M terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku

Dari definsi di atas, terdapat beberapa kata kunci yaitu ring komutatif dengan elemen satuan, modul uniter, submodul, dan ideal presentasi. Sebelum melangkah lebih jauh, ada baiknya Anda aku kenalkan terlebih dahulu dengan definisi-definisi kata kunci tersebut.

Definisi (Ring)

Ring adalah himpunan R dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan “+” dan perkalian “.” yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. a + (b + c) = (a + b) + c, untuk setiap a, b, c elemen R.
2. Terdapat 0 elemen R sehingga berlaku a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap a elemen R.
3. Untuk setiap a elemen R terdapat –a elemen R sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0.
4. a + b = b + a, untuk setiap a, b elemen R.
5. a.(b.c) = (a.b).c, untuk setiap a, b, c elemen R.
6. a.(b + c) = a.b + a.c dan (a + b).c = a.c + b.c, untuk setiap a, b, c elemen R.

Untuk selanjutnya, notasi ring R dengan operasi penjumlahan “+” dan perkalian “.” tersebut ditulis dengan (R, + , . ), dan notasi perkalian a.b ditulis dengan ab. Pada definisi di atas hanya operasi “+” yang bersifat komutatif dan jika di dalam ring R berlaku ab = ba untuk setiap a, b elemen R, maka R disebut ring komutatif. Selanjutnya, jika R adalah ring dan terdapat 1 elemen R sehingga untuk setiap a elemen R berlaku 1.a = a.1 = a, maka R disebut ring dengan elemen satuan, dan jika R adalah ring komutatif maka R disebut ring komutatif dengan elemen satuan. Untuk selanjutnya, elemen 1 di R ini disebut elemen satuan.

Contoh :

1. Himpunan semua bilangan bulat Z = {…, -1, 0, 1, 2, 3, …} adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat biasa. Dalam hal ini Z juga ring komutatif dan memiliki elemen satuan 1.
2. Himpunan semua matriks berukuran n x n bukan ring komutatif karena operasi perkalian pada matriks tidak selalu komutatif tetapi memiliki elemen satuan yaitu matriks identitas berukuran n x n.
3. Himpunan 3Z = {…-3, 0, 3, 6, …} yang merupakan himpunan bagian dari Z juga merupakan ring, tetapi tidak memiliki elemen satuan.

Setelah Anda mengenal definisi dan contoh seputar ring komutatif di atas, dan sebelum bertemu dengan modul uniter, terlebih dahulu Anda akan aku perkenalkan dengan ideal, karena sejatinya ideal adalah subring atau himpunan bagian yang ada dalam sebuah ring.

Definisi (Ideal)

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I adalah subring dari R. Himpunan I disebut ideal di R jika dan hanya jika himpunan I memenuhi ketiga aksioma berikut:

1. Himpunan I bukan himpunan kosong.
2. a – b elemen I, untuk setiap a, b elemen I.
3. ar elemen I, untuk setiap a elemen I dan r elemen R.

Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan ideal I dan disebut ideal sejati jika I tidak sama dengan R.

Contoh :

1. Himpunan sengleton {0} adalah ideal di ring Z, karena untuk sebarang a, b elemen {0} (dalam hal ini a = b = 0) dan r elemen Z berlaku :

• 0 elemen {0} sehingga {0} bukan himpunan kosong.
• 0 – 0 = 0 elemen {0}.
• r.0 = 0 elemen {0}.

Dengan demikian, terbukti bahwa {0} adalah ideal di ring Z.

2. Himpunan nZ = {nx | x elemen Z} dengan n elemen Z positif merupakan ideal di ring , karena untuk sebarang nx1 = a, nx2 = b elemen nZ dan r elemen Z berlaku :

• 0 elemen nZ sehingga nZ bukan himpunan kosong.
• a – b = nx’ – nx” = n(x’ – x”) elemen nZ.
• ra = r(nx’) = n(rx’) elemen nZ.

Dengan demikian, terbukti bahwa nZ adalah ideal di ring Z.

Selangkah sebelum masuk pembahasan tentang modul, Anda harus mengenal grup terlebih dahulu karena pembahasan mengenai modul tidak akan lepas dari grup.

Definisi (Grup)

Grup adalah himpunan G dengan operasi biner “*” yang memenuhi aksioma-aksioma berikut :

1. “*” bersifat asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c elemen G berlaku (a * b) * c = a * (b * c).
2. Terdapat elemen identitas e di G sehingga untuk setiap a elemen G berlaku a * e = e * a = a.
3. Untuk setiap a elemen G memiliki sebuah invers yaitu a’ sehingga berlaku a * a’ = a’ * a = e.

Untuk selanjutnya, notasi grup G dengan operasi biner “*” tersebut ditulis dengan (G, * ), dan notasi a * b ditulis dengan ab dan jika di dalam grup G berlaku ab = ba untuk setiap a, b elemen G, maka G disebut grup komutatif.

Contoh :

1. Himpunan semua bilangan bulat Z adalah grup komutatif dengan definisi operasi binernya adalah a * b = a + b, yang memiliki elemen identitas e = 0 dan setiap elemen n di Z memiliki invers yaitu –n.
2. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh bahwa himpunan semua bilangan rasional Q, himpunan semua bilangan real, dan himpunan semua bilangan kompleks adalah grup komutatif.

Setelah Anda dikenalkan pada definisi ring R dan grup komutatif M di atas beserta beberapa contohnya, Anda dapat berkenalan dengan definisi R-modul M yang tidak akan pernah lepas dari pembahasan ring dan grup komutatif.

Definisi (R-modul M)

Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan dan M grup komutatif. M adalah R-modul uniter (M adalah modul uniter atas ring R) jika memenuhi aksioma-aksioma di bawah ini :

untuk setiap m’, m” elemen M dan r’, r”, 1 elemen R.

Perlu diperhatikan bahwa M adalah R-modul jika aksioma 1 sampai dengan 3 terpenuhi, dan M adalah R-modul uniter jika aksioma keempat terpenuhi. Dengan kata lain, jika R adalah ring komutatif (tanpa elemen satuan) maka M adalah R-modul, dan jika R adalah ring komutatif dengan elemen satuan maka M adalah adalah R-modul uniter.

Contoh :

1. Setiap ring R adalah R-modul.
2. Setiap grup abelian G adalah Z-modul.
3. Q adalah R-modul, dengan Q adalah himpunan semua bilangan rasional dan R adalah himpunan bilangan real.

Definisi (Submodul)

Diberikan M adalah R-modul dan N adalah himpunan bagian dari M. N dikatakan submodul jika N adalah subgroup dan atas operasi pergandaan yang sama di ring R, himpunan N juga merupakan modul.

Contoh :

1. Setiap modul adalah submodul atas dirinya sendiri.
2. Himpunan Z adalah submodul di dalam Z-modul Q dengan Q adalah himpunan semua bilangan rasional dan Z adalah himpunan bilangan bulat.

Selanjutnya, perhatikan kembali definisi R-modul perkalian M di atas. Dalam tulisan ini diasumsikan R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan M adalah R-modul uniter. Jika M adalah R-modul, maka M adalah R-modul perkalian (multiplication modules) jika untuk setiap submodul N di M terdapat ideal I di ring R sehingga berlaku N = IM.

Ideal I disebut ideal presentasi dari submodul N, atau secara singkat disebut presentasi dari submodul N. Selanjutnya himpunan Pr(N) = {I di R | N = IM, untuk setiap N di M} adalah himpunan dari semua ideal presentasi dari submodul N. Dari Definisi modul perkalian di atas, jelas bahwa setiap submodul dari R-modul M memiliki ideal presentasi jika dan hanya jika M adalah R-modul perkalian.

Contoh :

Z adalah Z-modul perkalian, karena untuk setiap submodul N = nZ di Z-modul Z, terdapat ideal I = nZ di ring Z sehingga berlaku N = IZ atau nZ = (nZ)Z. Sebelumnya akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa bentuk dari sebarang submodul di Z-modul Z adalah submodul nZ untuk suatu n elemen Z positif. Selanjutnya diambil sebarang submodul S di Z-modul Z. Akan ditunjukkan bahwa S = nZ.

• Jika S = {0}maka jelas bahwa S = {0}Z untuk 0 elemen Z positif.
• Jika S tidak sama dengan {0} maka terdapat x tak nol di Z positif sehingga S = xZ. Jelas bahwa S memiliki elemen positif karena jika x >= 0 maka jelas bahwa x elemen S dan jika x < 0 maka terdapat -1 elemen S sehingga -1.x = -x > 0 dan berlaku (-x) elemen S. Karena S memiliki elemen positif maka pastilah terdapat elemen positif terkecil, yaitu sebut saja n (elemen S). Selanjutnya dengan menggunakan algoritma pembagian, untuk sebarang x elemen S terdapat q,r elemen Z dengan 0 <= r < n sehingga berlaku x = nq + r <=> x – nq = r elemen S (karena x elemen S dan nq elemen S). Dari sini, karena n elemen S elemen positif terkecil dan 0 <= r (elemen S) < n maka pastilah r = 0, yang artinya untuk suatu n elemen S, q elemen Z, berlaku x = nq + r = nq + 0 = nq (elemen nZ). Dari sini diperoleh, untuk setiap x elemen S berlaku juga x elemen nZ, yang artinya S adalah subset nZ . Selanjutnya untuk sebarang x elemen nZ berlaku x = nz elemen S (karena n elemen S dan z elemen Z), yang artinya S adalah subset nZ. Dengan demikian, karena S subset nZ dan nZ subset S maka berlaku S = nZ.

Dari penjelasan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa submodul nZ adalah bentuk dari sebarang submodul di Z-modul Z. Selanjutnya perhatikan juga bahwa himpunan nZ juga merupakan ideal pada ring Z (lihat Contoh Ideal di atas), yang artinya untuk sebarang submodul nZ di Z-modul Z terdapat ideal nZ di ring Z sehingga berlaku  nZ = (nZ)Z.

Langkah terakhir adalah menunjukkan bahwa kesamaan nZ = (nZ)Z berlaku, yang artinya akan ditunjukkan bahwa nZ adalah subset (nZ)Z dan (nZ)Z adalah subset nZ.

1. Sebarang na elemen nZ untuk setiap a elemen Z dapat dinyatakan dalam na = (n.1).a elemen (nZ)Z sehingga jelas bahwa nZ subset (nZ)Z.
2. Selanjutnya sebarang (nz’)z’’ elemen (nZ)Z dengan z’, z’’ elemen Z dapat dinyatakan dengan (nz’)z’’ = n(z’z’’) = nz* elemen nZ untuk suatu z’z’’ = z* elemen Z sehingga jelas bahwa (nZ)Z subset nZ.

Dengan demikian terbukti bahwa Z-modul Z adalah modul perkalian, karena untuk setiap submodul N = nZ di Z-modul Z, terdapat ideal I = nZ di ring Z sehingga berlaku N = IZ atau lebih jelasnya nZ = (nZ)Z.

Wah, panjang juga ya ternyata. Aku pikir tidak apalah. Bagi Anda pecinta bidang Aljabar dalam dunia Matematika, kurang lengkap hidup Anda rasanya sebelum Anda mengenal Modul Perkalian ini. Akan ada banyak sifat-sifat menarik yang dapat Anda gali di sini. Kalau dalam skripsiku, aku mencari tahu kaitan antara submodul prima dan modul perkalian ini. Namun, ulasan mengenai submodul prima belum bisa aku bahas saat ini karena aku belum lulus ujian skripsi. Insya Allah setelah aku dinyatakan lulus, aku akan segera membaginya untuk Anda di sini.

Cukup untuk hari ini. Mari kita tetap berbagi ilmu pengetahuan dan pengalaman. Apa saja. Nuwun.

Cerita Harian, Iptek, Sekitar UGM Add new tag, Matematika, Tugas Akhir